Diario - Semana del 14 al 18 de Marzo de 2011

Se han trabajado en clase sobre todo aspectos relacionados con la metodología de la enseñanza de las matemáticas, de cómo se enseñaba tradicionalmente y de cómo se debería enseñar desde una perspectiva constructivista.

Se elaboró una tabla que contrasta ambos enfoques y que adjuntaré a lo largo de esta semana, por cierto gracias a Natalia Salsón por dejarme sus apuntes del día que falté por el dichoso accidente de tráfico. La tabla será extraída de sus apuntes, gracias por adelantado.

Cosas que he aprendido esta semana:

Cuando nos planteamos que nuestro alumnos realicen una actividad, no se puede llegar y darles una actividad sin más, la actividad X de la página Y, habrá que tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Fijar nuestros objetivos
• Qué es lo que queremos que aprendan
• Actividades que les vamos a proponer para que aprendan

Proceso inductivo: (en la resolución de una actividad / problema) implica una serie de pasos:

• Hayamos un patrón claro que se pueda dibujar
• Hayamos otro patrón claro
• Hayamos el siguiente patrón claro
• Entonces, hacemos uno que no se pueda dibujar y aplicamos esa pauta que pensamos que se cumplía en los anteriores, aquéllo que pensamos. Si se cumple, hacemos una fórmula general.

¿Qué es un error, qué implica que nuestros alumnos cometan un error?

• En la perspectiva tradicional en la enseñanza de las matemáticas (y otras disciplinas) un error era algo punible y cometerlo implicaba recibir una amonestación de diversos tipos.
• Sin embargo, desde el enfoque constructivista, un error no es más, ni menos, que una oportunidad de aprendizaje y así se lo tenemos que hacer entender a nuestro alumnos en el futuro.

Cuando enseñamos y proponemos tanto actividades como teoría tenemos que ser capaces de responder al por qué, no actuar de una forma mecánica que no aporte sentido a lo que explicamos. Si somos capaces de explicar la relación entre la causa y el efecto seremos capaces, realmente, de demostrar algo.

Problema VS Ejercicio:

Desde la perspectiva constructivista debemos diferenciar ambos conceptos y tenerlos claros. En común ambos términos tienen el principio y el final. En cuanto a sus diferencias:

• En el ejercicio: sé de antemano qué hacer para llegar a la solución del problema.
• En el problema no sabes, a priori, lo que hay que hacer, cómo llegar a la solución.
• No existen los problemas de dividir, sumar, restar, multiplicar, etc. Son ejercicios erróneamente llamados problemas.

Como ya hemos dicho en diversas ocasiones hay distintos caminos válidos para llegar a la misma solución, pero además, dentro de nuestra clase-grupo de alumnos encontraremos que hay gente que posee distintos tipos de herramientas que emplean en la resolución de ejercicios y problemas. Pues bien, dichas herramientas propias de cada alumno, aunque sean diferentes, son igual de válidas.

Las fórmulas no son herramientas que aprendemos de memoria y sin sentido. Las fórmulas han de ser el resultado de un proceso de pensamiento que va en contra de esa memorización sin sentido.

Cuando nos encontramos frente a un problema matemático hay que saber estimar el resultado. Si en primaria nuestros alumnos son capaces de estimar un resultado en un problema de una forma eficaz y con sentido es más que suficiente en cuanto a que cumplen con el grado de resolución que deberíamos esperar de ellos.

Deberes - días sueltos

 Hay un desfase de días entre los que no ha habido clase y uno que falté yo gracias a los "simpáticos" atascos que se forman en la M-40 y A2. En fin, allá vamos.

Resolución de la suma de los números que tiene que dar como resultado 6 (no se pueden añadir números para ello). En clase vimos que había varias posibilidades para resolver este ejercicio, con lo que queda reforzada la idea de que hay más de una camino para llegar al mismo resultado, idea que como futuros maestros debemos tener siempre en mente.

Aquí os dejo mi propuesta de resolución:

Polígonos:

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 100 lados?

Para resolver este problema es bueno proceder como lo haría un alumno de primaria; dibujando los polígonos y pintando cada una de las diagonales posibles dentro de dichos polígonos. Una vez hemos pintado varios ya podemos empezar a observar patrones:

Luego, podemos afirmar que de cada vértice saldrá una diagonal que vaya hasta cada uno de los vértices del polígono menos a sí mismo y a sus dos vértices contiguos. Lo vemos con un ejemplo, el pentágono:

Tiene 5 vértices y de cada uno de ellos saldrá una diagonal a todos los vértices menos a él mismo y a los dos contiguos por lo que tendremos (5 - 1 - 2 = 2). Además, lo anterior ocurre por cada vértice, al tener 5 vértices esto sucederá 5 veces, por lo tanto, tendremos que multiplicar los resultados del primer vértice por 5. Tenemos  (2 x 5 = 10). 

Por último sabemos que la diagonal que va desde el vértice A al vértice B es la misma que va del B al A, por lo tanto, habrá que dividir el número total de diagonales posibles entre dos para hallar la mitad. Con lo que tenemos 10 diagonales posibles pero repetidas A y B  es lo mismo que B y A con lo que al dividir entre 2, para hallar la mitad, obtendremos las diagonales reales posibles de este polígono.

Ahora vamos con el polígono de 100 lados, aunque podríamos coger cualquiera.

La fórmula general sería:

Luego tenemos (100-3) x 100 = 9700
9700 / 2 = 4850 diagonales

Diario - Lunes 7 de Marzo de 2011

Cosas que he aprendido hoy en clase:

• La intuición previa es importante en la resolución de problemas.
• No hay que dar respuestas a nuestros alumnos sino plantear preguntas que les guíen hacia las respuestas correctas.
• Posible no es lo mismo que probable. Para asegurar algo hay que probar todos los casos posibles.
• Lo contrario de Todo en un problema no es la Nada; por ejemplo todos los elementos que cumplen con  una serie de requisitos no les falta Nada, son aquéllos que tienen Todo. El contrario de Todo será aquellos elementos a los que les falta algo o que no cumplen con un requisito.
• Si son los propios niños los que realizan una autoevaluación se vuelven más autónomos y ayudan a la profesora a ver en qué aspectos necesitan refuerzo de una manera más rápida y significativa.
• Hay tres pasos fundamentales en la resolución de problemas y su interiorización:

1. Comprender
2. Asimilar
3. Verbalizar (ser capaces de explicarlos más tarde)

¿Cómo tratar la discalculia?

Ya hace unos días añadí una entrada en mi diario sobre como tratar la discalculia, recupero la información:

• Darle tiempo suficiente al alumno para visualizar los problemas.
• Dotar al alumno de estrategias cognitivas que le ayuden con el razonamiento visual y faciliten el cálculo mental.
• Adaptar el aprendizaje al alumno usando los canales de información más adecuados a sus necesidades.
• El alumno debe leer en voz alta y de forma comprensiva los problemas. Asegurarse de esto.
• Relacionar los problemas con situaciones de la vida real (esto es aplicable para todos los alumnos).
• Evitar aglomeraciones visuales en las fichas/hojas de trabajo.
• La repetición en la memorización es muy importante para estos alumnos, usar música o ritmo como ayuda.
• Exámenes personalizados adaptados a sus necesidades en presencia del docente.
• Tratar al alumno como a uno más. Nada de regañar o expresar lástima.

      Además en clase hoy hemos estado revisando otros métodos que nos pueden ayudar a paliar sus efectos en clase:

• Puede ayudar el hecho de trabajar con "materiales manipulativos" (por ejemplo placas multibase) en las mesas para que sean capaces de concebir físicamente y de un modo tangible las cifras que manejan antes de escribirlo con números.
• Ayuda que los alumnos con discalculia expliquen al profesor cómo han entendido el problema planteado en un examen, para que así el profesor le pueda orientar en caso de que no lo haya entendido correctamente.
• Son alumnos que necesitan de un tiempo determinado y distinto al que el resto necesita para realizar los problemas. Realizar un examen sin tiempo, encontrar un momento en el que el tiempo no sea un factor condicionante.
• El hecho de llevar acabo las dos últimas cuestiones implicaría que estos alumnos necesitaran de la figura de un profesor continuamente detrás de ellos. 

Diario - Viernes 4 de Marzo de 2011

Cosas que aprendí en clase:

• Para asegurar algo hay que comprobar que se cumple el peor caso posible.
• Cómo identificar la discalculia en clase: los alumnos con este problema tienen problemas para contar hacia atrás, al escribir los números lo invierten, confunden números simétricos como el 6 y el 9.
• El reconocimiento social que reciben las matemáticas puede estar relacionado con el nivel socio-económico y de formación en las dos variantes: que personas con más formación educativa le den más importancia a su uso, o, que personas que pertenecen a grados más elementales de educación se la den por el uso que hacen de ellas en su vida diaria. Normalmente entre los individuos pertenecientes a estratos socio-económicos más favorecidos las matemáticas gozan de un mayor prestigio y sucede lo contrario en sectores más deprimidos.
• Matemáticas escolares: cercanas al alumno, pero desconectadas de su realidad. Que el aprendizaje  esté contextualizado no tiene por qué significar que éste sea significativo. No se trata de buscar en nuestras clases algo que sea atractivo para ellos, sino algo que les implique realmente en los procesos de enseñanza-aprendizaje.
• El profe no posee la verdad absoluta. Un alumno puede encontrar un método distinto al nuestro para resolver el problema y es tan aceptable como nuestro método.

El problema del Caracol:

      Tenemos a un caracol que quiere subir a lo alto de una planta que mide 7 metros. El caracol recorre cada día 4 metros y cuando duerme desciende 1. ¿Cuántos días tarda en llegar a lo alto de la planta?

      Sin dormir el primer día subirá 4 metros, pero al dormirse desciende 1 metro con lo que habrá recorrido 3. El caracol en el segundo día, sin dormirse, llegará a la parte más alta de la planta (3+4 = 7 metros) la planta mide 7 metros con lo cual llega a la cima. Si el caracol en el segundo día se duerme en la cima (7 metros) descenderá un metro (7-1= 6 metros), con lo que necesitará un día más, 3 en total, para llegar a la cima de la planta.

El problema de Gauss:

Un maestro de colegio en Alemania castigó a todos sus alumnos a sumar los 100 primero números naturales para tenerlos entretenidos y callados durante un rato. Sin embargo, en esa clase estaba Gauss que obtuvo la respuesta en unos minutos. El profesor, al comprobar que Gauss había hecho la suma correctamente, palideció atónito ante el resultado. ¿Qué hizo Gauss?

En clase vimos dos métodos para resolver este problema:

• El primero consiste en sumar las parejas de números que hay desde el 1 hasta el 100 sin que los números se repitan y que ambos den como resultado 100. En este caso empezamos con la siguiente serie (99+1, 98+2, 97+3,...., 51+49) en total 49 operaciones donde cada una suma 100 sin que se repitan los números y el 50 se queda aparte porque no puede repetirse dicho número. El resultado de lo anterior es (100x49 = 4900). El 100 lo sumamos a 0 y el 50, que lo teníamos aparte habrá que sumarlo también. Luego (4900+100+50=5050).

• El segundo método que lo aportó una compañera, María Sabina, era planteado de otro modo. Primero sumaba las unidades: el número 9 aparecerá 10 veces al sumar los números del 1 al 100 - 9, 19, 29, etc, y con el resto de unidad sucederá lo mismo. 

         Luego tendremos (10+20+30+40+50+60+70+80+90 =450)
        Después habrá que hacer lo mismo con las decenas (20 aparecerá 10 veces de 20 a 29.
         Luego, (20x10=200) y así sucesivamente.
         (100+200+300+400+500+600+700+800+900= 4500)
         Por último las centenas que sumaremos tal cual (100 sólo sale 1 vez entre 1 y 100).
         Con lo cual tenemos: (450+4500+100 = 5050)

Deberes - jueves día 3 de Marzo de 2011

Un nuevo problema:

¿Se puede asegurar que al menos dos personas dentro de la Comunidad de Madrid tengan el mismo número de cabellos en la cabeza?

      Para resolver este problema hay que tener en cuenta el "Principio del palomar" que dice: que si X palomas se distribuyen en un palomar que tiene Y huecos para que duerman en él, siendo el número de palomas, X, mayor al número de huecos, Y, (X>Y), entonces se cumple que al menos habrá un hueco en el que duerman más de una paloma.

¿Cuándo se puede asegurar algo? Cuando se cumple el peor de los casos posibles.

En nuestro problema el peor caso posible sería:

      Que dentro de los 6 millones de personas que habitan en Madrid no haya dos personas con el mismo número de pelos. Pero, sabiendo que en una persona el máximo número de pelos es de 120.000 y, como ya hemos dicho, el número de habitantes en la Comunidad de Madrid es mayor al número máximo de pelos por persona, entonces podemos pensar en que haya un caso en el que se repita dicho número.

      El peor caso es que dentro de las primeras 120.000 personas el número de pelos sea diferente. Pero entonces, en el 120.001 tendremos que coincide necesariamente con el número que tenía alguna de las anteriores 120.000.

Diario - Jueves 3 de Marzo de 2011

Hoy en clase hemos aprendido o revisado varios aspectos:

• Lo importante que es saberse los nombre de los alumnos, porque al llamarles por su nombre les damos confianza y cercanía. En mi caso reconozco que no me cuesta aprenderme los nombres de mis alumnos y siempre le he dado importancia a este hecho ya que somos porque nos llamamos y mi nombre (y/o apellidos) me identifica y me diferencia del resto.
• Una buena forma de implicar a la clase como grupo es dividirla en otros subgrupos y realizar una lluvia de ideas participativa.
• El respeto por los turnos de palabra: hay que trabajarlos en el aula, sobre todo cuando se trabaja por grupos. Establecer normas de convivencia es fundamental para desarrollar las clases de un modo adecuado. Además, es más fácil controlar el ritmo de la clase dividiéndola por grupos, porque es más fácil saber si un grupo colabora o no en el desarrollo de la clase, o al menos es más fácil que controlar si todos los alumnos han intervenido o no.
• Cuando alguien nos pregunta algo hay que fijarse en que nuestra respuesta se corresponde con la duda planteada. Es fundamental responder a lo que un alumno nos ha preguntado y no a otra cosa que no tiene nada que ver para que se dé el aprendizaje.

Resumen de la clase:

En clase hemos ido respondiendo a las distintas cuestiones planteadas en los deberes del martes día 1 de Marzo y sobre todo hemos incidido en el aspecto de qué son las matemáticas realizando una lluvia de ideas en subgrupos. Han ido apareciendo las distintas ramas de las matemáticas, otras disciplinas relacionadas, e incluso, cosas que a priori no tenían relación hemos descubierto que sí estaban relacionadas.

Pd. He perdido la fé en los meteorólogos. Usan la lógica de un modo erróneo.

Resolución del problema del ganadero y el comerciarte (será subido en el post de Deberes - de martes 1 de Marzo de 2011).

Deberes - martes día 1 de Marzo de 2011

Deberes Martes día 1 de Marzo de 2011:

1. ¿Qué es la discalculia? ¿Cómo evitarlo?
2. Expectativas con la asignatura ¿Qué pretendemos? ¿Qué esperamos sacar?
3. ¿Qué son las matemáticas?
4. ¿Dónde hay matemáticas?
5. Socialmente, ¿qué papel juegan las matemáticas?
6. ¿Qué pretendemos enseñar con las matemáticas?
7. Problema del comerciante, el ganadero y la vaca.

Diario - Martes 1 de Marzo del 2011

Lo aprendido y comentado en clase: Martes 1 de Marzo de 2011

      En la primera clase la profesora nos planteó que nos presentáramos y que indicáramos qué relación teníamos con las matemáticas. A través de las experiencias de los compañeros fui descubriendo las distintas "relaciones" que habían establecido tanto en el pasado como en el presente y las actitudes que en ellos se habían generado y habían quedado marcadas en cuanto a las matemáticas.

Buenas relaciones con las mates:

      Algunos tenían experiencias positivas, tras acabar sus años en colegios e institutos habían seguido cursando sus estudios en la universidad con ramas directamente relacionadas con las matemáticas. Vimos en clase, que estas decisiones que tomaron algunos en cuanto a seguir estudiando matemáticas en sus carreras, había estado asociada, en muchos casos, a las buenas experiencias que habían tenido en las aulas, gracias a la figura de los buenos maestros que habían sido capaces de transmitir con su actitud motivadora el gusto por los números.

      Algunos de los alumnos expresaron que disfrutaban aprendiendo matemáticas, sus profesores habían sido capaces de enseñarles la utilidad de su asignatura, habían sido capaces de trasladar las matemáticas más allá de las teorías que había que aprender en clase para lograr que llegasen a formar parte de la realidad más cercana y útil.

     Otros alumnos expresaron que su buena relación con las matemáticas se debía a su propio interés o curiosidad por las mismas. Cuando terminaba la clase investigaban por su cuenta y seguían disfrutando y aprendiendo más allá de lo que se daba en clase. Claro, todo esto eran experiencias que se daban en niveles de educación superiores y no en edades tempranas.

¿Las mates? No me caen bien, ¡gracias!:

      Sin embargo, las experiencias que más abundaban en clase eran las negativas. Socialmente las mates tienen un estigma negativo asociado a ellas, siempre "pagan el pato" de los fracasos escolares.

(Una madre y su hijo se encuentran a la salida del cole con una conocida que es la madre de otro alumno).
Madre B: Rubén, ¿qué tal vas en el cole?
Rubén: Bien...
Madre A (de Rubén): En general va bien, pero las mates... se le resisten, ¡ya se sabe!
Madre B: ¡Claro, yo las odiaba cuando era pequeña!

¿Esto por qué? ¿Nos han dado una bofetada las mates cuando íbamos a clase? ¿Nos pegaba collejas el número Pi? ¿Las integrales nos insultaban cuando pasábamos a su lado? Seguro que no.

Entonces, ¿qué está pasando?

      Se repetía el mismo discurso alumno tras alumno. En primaria me llevaba bien con las mates, pero en el curso X con el profesor Y (que me tenía manía) las cogí asco y ya no las trago, cuando pude las di de lado. Sí, sabemos que las mates existen, pero mejor es no cruzarse con ellas. Es decir, en muchos casos, el principal culpable de que los alumnos cogiesen ese "odio" a las mates fue el propio profesor. No se debe enseñar un conocimiento teórico de memoria. ¿De qué sirve memorizar fórmulas que olvidamos según nos examinamos? Habrá que procurar que el aprendizaje sea significativo. Las fórmulas no se memorizan, se deducen y se aplican cuando son oportunas, no por sistema.

      En muchos casos el profe era majo, "caía bien", pero que un profesor sea majo o no luego no incide en que enseñe mejor o peor. Que alguien sea un profesor majo no quiere decir que sea un buen profesor, por muy bien que nos llevemos con él.

¡La temible pizarra y los profesores tiranos!

      En España tenemos pánico a hacer el ridículo. Si cometemos un error se nos cae el mundo a los pies. Y si cometemos dos explotamos en mil pedazos. Eso es lo que pensamos, ¡qué triste! Si esto fuese el Reino Unido sería distinto. Allí lo importante es ser activos en nuestro aprendizaje, si cometes un error no pasa nada. En España, desde que entramos en el aula estamos siendo juzgados por nuestros compañeros y, peor aún, hay dos ojos de un demonio posados en nuestra figura, sí, ¡el tirano profesor!

      Existen aún profesores tiranos en las aulas. Muchos de mis compañeros (por lo que comentaban) y yo los hemos sufrido. Son esos profesores que cuando te equivocas te ridiculizan, se ríen y hacen que el resto se ría de ti, ¡muy instructivo, sin duda! El castigo llevado al extremo, seguramente fruto de frustraciones y deseos no conseguidos, haciendo sentirse mal al resto ellos se sienten mejor. Algo a erradicar.

      ¿Y la pizarra? Yo he visto alumnos que se han llegado a orinar cuando les han pedido salir al encerado, ¡qué fuerte! Y ¿por qué? Porque es tal el miedo al error que tenían, el pánico que daba salir a la pizarra, a hacer un ejercicio y que nos equivocáramos, que cada vez que oías al profesor decir tu nombre echabas a temblar. Tenemos que procurar que el hecho de salir a la pizarra sea algo positivo. ¡Es bueno salir a la pizarra y es bueno cometer errores! Cometiendo errores y aprendiendo por qué los cometemos aprendemos. Como profesores/maestros hay que conseguir que el hecho de salir a la pizarra sea un refuerzo posotivo. Peo ¡ojo! que un refuerzo positivo no tiene por qué ser lo mismo que un premio. Para aclarar conceptos pincha aquí.

Algunos consejillos que sí hay que seguir en nuestra clase:

• Fomentar la curiosidad en el alumno para que vaya más allá de lo que aprende en clase. ¡Vale ya de hablar cosas poco tangibles para ellos! ¡Encontremos elementos de su realidad cercana que podamos aplicar en clase para que entiendan y aprendan realmente!
• Cada alumno necesita de un tiempo distinto para asimilar conceptos y resolver problemas o ejercicios. Procuremos darle a cada alumno el tiempo que necesita. ¡No aprenden todos al mismo ritmo, ojalá!
• Los docentes somos espejos en los que se miran los alumnos. Una actitud positiva hacia lo que enseñamos les motivará a la hora de aprenderlo.
• Hay que secuenciar los problemas según su dificultad, que sean adecuados al nivel.
• Ofrezcamos a los alumnos retos. Hagamos que se impliquen en el proceso de aprendizaje, hay que estimular el desafío, ¡que aprender sea una aventura y sean ellos, y no nosotros, los protagonistas!
• Sumar y realizar operaciones hay aparatos que lo hacen mucho mejor y más rápido que los humanos. Lo que hay que hacer es lograr que los alumnos aprendan el por qué han de hacer una determinada operación y no otra.

Introducción

      Soy Alejandro Sergio Vicent Sierra, alumno de Magisterio y futuro maestro, si la "cosa" no se tuerce, dentro de unos meses. Este blog surge como un diario sobre las experiencias que vaya acumulando en mis clases presenciales de Matemáticas y su Didáctica, asignatura que curso en mis estudios de Magisterio de Lengua Extranjera.

¿Para qué sirve este blog? O, mejor dicho, ¿para qué me gustaría que sirviera?

      Mi propósito es que este blog sirva para algo, lógicamente. Primero como actividad valorable para la propia asignatura y segundo como una experiencia que quizás pueda ser útil a otros alumnos (que se encuentren o vayan a encontrarse en un futuro en la misma situación que yo) o maestros (que quieran recuperar su "amistad" con la enseñanza de matemáticas o cambiar su metodología). En este blog iré reflejando mis progresos, mis dificultades, las cosas que vaya aprendiendo y, todo ello, porque creo que pueden llegar a ser útiles para otros y qué mejor modo de compartir dichas experiencias que esta, a través de Internet.

      Si dentro de unos meses consigo mi título como maestro, puede que en la realidad del aula me encuentre con la situación de tener que enseñar matemáticas y, esta asignatura (Matemáticas y sus didáctica), no sólo va a servir para afianzar, repasar e incluso adquirir conocimientos de los cuales carecía anteriormente, sino también como un aprendizaje de las actitudes y metodologías que sería más convenientes emplear en mi día a día en clase.

      Todos sabemos la influencia, tanto positiva como negativa, que puede ejercer un buen o mal maestro en nuestro aprendizaje y de lo que se trata aquí es de analizar qué aspectos nos pueden ayudar a formarnos como buenos transmisores de conocimiento, pero no tan sólo de eso, sino además, de ver qué métodos podemos aprender para lograr reflejar una actitud positiva, que predisponga a nuestros alumnos para que se sientan motivados a aprender y que les haga ser capaces de entender la importancia que poseen las matemáticas, tanto en su aprendizaje como en su entorno más cercano, es decir, que sean capaces de ver que las matemáticas están presentes en todos los ámbitos y más aún que vean que son parte de su realidad más cercana.