Geogebra

Hace unos días Anna lanzó esta pregunta en clase y hoy, revisando los apuntes, lo encontré perdido entre números y problemas.

¿Qué es geogebra? ¡Wikipedia muéstranos tu SABIDURÍA!

Extraído de: http://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Copio y pego para vagos:

GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.

GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas.

Es básicamente un "procesador geométrico" y un "procesador algebraico", es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo -y por eso puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas-.

Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica".

Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas... etc. - mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible -. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.

GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

Para más info aquí está la web: http://www.geogebra.org/cms/

Deberes - Problemas varios, días 24-25 y 28 de Marzo de 2011

Problema de contextualizar:

La mayor dificultad de este tipo de problemas es plantearse correctamente las ecuaciones para resolverlos. En clase fallamos en esta cuestión y normalmente fue porque realmente no reflejábamos el enunciado del problema correctamente en las ecuaciones.

Un padre y su hijo poseen cada uno un rebaño de ovejas en el que sucede lo siguiente. Si el padre le da al hijo dos ovejas entonces ambos poseen el mismo número de ovejas. Por otro lado, si el hijo le da al padre dos ovejas el padre tendrá el doble de ovejas que el hijo. ¿Cuántas ovejas tienen entonces el padre y el hijo?

X = nº de ovejas del padre
Y = nº de ovejas del hijo

Planteamos entonces las ecuaciones:

Luego tenemos X = 14 ovejas tiene el padre

e Y = 10 ovejas tiene el hijo

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¿Cuántos rectángulos habrá en un tablero de ajedrez de 8x8?


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Diario - viernes 25 de Marzo de 2011

Primera sesión de tres horas de matemáticas, hemos salido ilesos y ha resultado menos duro de lo que pensaba, aunque he echado de menos algún descanso entre horas.

Cosas que he aprendido:

• Primera regla del cálculo mental: agrupar números que sé sumar cuando tengo una suma de varios números, ya lo hemos trabajado en el problema del sumatorio de los cuadrados posibles en un tablero de (8x8). ¡Cuánto nos ha enseñado el programa Cifras Y Letras!

Obstáculos ontogenéticos: hay que enseñar al niño cosas que pueda "digerir". Por ejemplo, si estamos enseñando a alumnos de los primeros cursos de primaria a sumar restar y les planteamos un problema de este tipo:

La madre de pedro le ha dado 10 zumos para que se los beba en el recreo. Si el lunes Pedro se ha bebido 3, ¿cuántos zumos en total le quedan a Pedro para el resto de la semana?

Los niños son capaces de hacer la resta para resolver el problema porque tienen el dato inicial del que se parte (10 zumos). Entonces 10 - 3 = 7 zumos que le quedan. Los niños seguro que lo resuelven correctamente y no tienen problemas para hallar el método de resolución.

Sin embargo, si cambiamos el enunciado y omitimos la cantidad inicial de zumos, planteando este ejercicio a los mismos alumnos, aparecerán obstáculos de tipo ontogenético. Por ejemplo:

Pedro se ha bebido 3 zumos en el recreo del lunes. Ahora le quedan 7 para el resto de la semana. ¿Cuántos zumos le dio a Pedro su madre al principio de la semana?

En este caso la cantidad inicial se desconoce, se trata de una resta no canónica (pregunta una de las cosas que se están restando). 
No se da el estado inicial, el número total de zumos del que se parte ? - 3 = 7. 
El niño probablemente no sepa resolver este problema porque aún no está preparado para ello, no lo puede "digerir".

Entonces: a la hora de proponer actividades a nuestros alumnos, en la planificación, habrá que tener muy en cuenta este aspecto y "no pedir peras al olmo". Un niño con 6 años, a esa edad, no puede ser físico nuclear por mucho que nos empeñemos, no pretendamos imposibles.

Obstáculos culturales: se refieren a esos obstáculos que son establecidos socialmente, por ejemplo, en el caso de las monedas nos hemos puesto de acuerdo para otorgarles el valor que tienen. Más ejemplos: un niño inglés en clase (mide en pulgadas, pesa en libras, cuenta de forma distinta - billones, etc.). ¡Así que si os toca un alumno inglés en clase de matemáticas ojito!


¿Por qué es bueno conocer idiomas y culturas distintas a la nuestra? Échale un ojo al siguiente vídeo...

Obstáculos didácticos: cuando el maestro elige una metodología equivocada a la hora de enseñar algo. Enseñar que la figura A y la figura B son triángulos y no poner ni usar nunca más ejemplos. Pues nuestros niños dirán que la figura C, cuando se les pregunte, no es un triángulo. Lo que quiere decir que por la forma que hemos explicado, sin profundizar en su asimilación y acomodación de conocimiento, no han entendido qué son las figuras. Curiosamente me siento identificado con este ejemplo, todos hemos sufridos profesores de este tipo, por desgracia.


Entonces: cuando, como maestros, se nos plantea una duda sobre algo que tenemos que explicar tenemos dos opciones:

• Explicarlo erróneamente (esto no es una opción) y como son niños no se dan cuenta (este caso lo hemos sufrido todos en menor o mayor medida) y debería erradicarse de las aulas.
• Reconocer nuestras lagunas, profundizar sobre el tema preparándolo para luego poder realizar una correcta explicación... ¡No seamos cómodos, que luego estos alumnos arrastrarán nuestro error a lo largo de sus vidas! 

Pd. ¡Un cuadrado es un rectángulo y yo sin saberlo!

Diario - jueves 24 de Marzo de 2011

Cosas que he aprendido:

Fundamentos didáctica matemáticas: (algunos términos que desconocía y conviene saber)

• Epistemología: es decir, qué consciencia tiene el maestro sobre aquéllo que va a enseñar.
• Transposición didáctica: qué situaciones elije el maestro para transmitir un determinado saber.
• Representaciones: es fundamental intentar representar los problemas que nos plantean o planteamos.

* Hay que defender en nuestras clases y socialmente que LAS MATEMÁTICAS NO SON UN CASTIGO.

Las matemáticas han de ser una herramienta más que nuestros alumnos puedan usar en su día a día. Hay que intentar que los alumnos redescubran las matemáticas. 

¿Cómo proceder? Hacer que establezcan conexiones entre el mundo abstracto (resuelvo el problema en el mundo abstracto) y vuelvo al mundo real a ver si el resultado que he obtenido es coherente.

Importante: el maestro será el nexo que establezca los vínculos entre el mundo abstracto y el real para que los alumnos entiendan el sentido de las matemáticas.

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Relación ALUMNO - SABER

Teoría de la equilibración: (en resumen), hay que distinguir entre ASIMILACIÓN y ACOMODACIÓN:

• Asimilación: cuando saber el camino a algo, se correspondería con los ejercicios.
• Acomodación: relacionar lo nuevo aprendido con nuestros conocimientos previos. Acomodo la nueva información a lo anterior y reestructuro mi conocimiento. Se correspondería con la resolución de problemas.

• Una de las pautas del constructivismo es producir desequilibrios en la mente de nuestros alumnos, hacerles pensar, no que trabajen de una forma mecánica y lineal.
• No hay que asociar el obstáculo cognitivo con el error, son cosas distintas. Un obstáculo cognitivo sería por ejemplo pretender enseñar a un niño de 6 años a hacer una raíz cuadrada, es decir, pretender enseñar a los niños algo para lo que no están preparados cognitivamente.

Una cosa útil para cuando seamos profesores: hacer "preguntas trampa" a nuestros alumnos. ¿Cómo? Poniendo en clase a nuestros alumnos problemas que no siguen la regla que acabamos de dar. ¿Para qué? Para comprobar el grado de profundidad de conocimiento del alumno.

Obstáculo espistemológico: aquél que depende de la ciencia en sí misma. Los problemas que lo son por sí mismos.

Pautas para el diario, para aquéllos que estén perdidos - (Técnica 3 - 2 - 1),  hay muchas formas como se ha dicho en clase, pero una, para que resulte más gráfico, sería por ejemplo:

• 3 cosas que no me han quedado claras
• 2 cosas que he aprendido
• 1 cosa que considero que debería investigar más a fondo

Deberes - 21 de Marzo de 2011

Hoy hemos empezado a resolver el problema de las 8 damas:

¿Cómo colocar 8 damas en un tablero de ajedrez estándar 8x8 sin que se amenacen las unas a las otras?

Aunque parece ser que se puede resolver de otro modo más práctico y menos engorroso, yo, que de momento no encuentro el patrón para resolverlo de otro modo, he procedido por el método de ensayo-error.

Este fue el método que empezó a desarrollarse en clase, el movimiento del caballo, pero siguiendo con él pude colocar 7 damas en vez de 8 porque en la octava ya me coincidiría con alguna otra. Con lo que deduzco que hubo al menos una ficha que coloque mal. Probando y probando finalmente di con la solución:

¡¡Incompleto!!

Conclusiones que saco de la resolución de este método y que quizás me lleven al patrón para averiguar otro modo de resolverlo:

• Cada dama ha de estar en una fila y columna distinta al resto.
• La diagonal XY es la misma que la YX.
• Hay 64 casillas por lo tanto hay 64 posiciones donde colocar nuestras damas.
• Cada dama se puede desplazar como mucho en 8 direcciones diferentes.
• En el peor de los casos, los cuadros exteriores, van a tener cada uno 3 diagonales posibles y el resto de cuadros 8. Los cuadros exteriores son 32 en total y si cada uno puede coger 3 diagonales como mucho, habrá 32x3 = 96 diagonales que serán todas las que puede haber en el tablero de 8x8. Pero hay diagonales que contamos que son la misma como hemos dicho antes.

Continuación del ejercicio:

¿Cúantos cuadrados hay en un tablero de ajedrez? Resuelto por María Sabina Rubio y por mí.

La forma de proceder que he seguimos en este ejercicio es muy simple, pintamos (por separado) los cuadrados posibles que podíamos encontrar de (8x8), (7x7), (6x6), (5x5), (4x4), (3x3), (2x2) y (1x1). Al hacer esto nos fuimos dando cuenta de que los resultados siempre se correspondían con el cuadrado del número de cuadros que cogíamos cada vez así:

• (8x8) = 64 
• (7x7) = 49
• (6x6) = 36
• (5x5) = 25 
• (4x4) = 16
• (3x3) =  9
• (2x2) =  4
• (1x1) =  1
• Total de la suma: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 Cuadrados posibles.

* Cuando tenemos la suma de diferentes cifras para sumarlas de una forma rápida simplemente hay que buscar las cifras que nos simplifiquen la suma, por ejemplo, si sumamos 64 + 36 tenemos 100, si sumamos 49 + 1 tenemos 50 + 25 = 75 y, por último nos será más fácil operar con la suma de 16 + 9, es decir, 25 con lo que sólo nos queda libre el 4. Luego tenemos 200 + 4 = 204, bastante más fácil que sumar cada cifra por separado.

El juego en la educación matemática

El juego:

El juego en la enseñanza es importantísimo por ser un elemento increíblemente motivador para nuestros alumnos. El juego puede ayudar a nuestro alumnos a automatizar, sin que se den cuenta, el cálculo. Tenemos varios ejemplos que nos pueden ayudar a ello, por ejemplo el juego de la escoba o el Halli Galli.

Para usar el juego en nuestras clases hay que tener en cuenta que hay que establecer varios niveles de destreza del jugador:

• Novato - aprende a realizar cada acción aislada, por separado.
• Intermedio - aprende patrones.
• Experto - capaz de crear nuevas teorías.

Nuevas tecnologías:

Los ordenadores o calculadoras pueden ser herramientas importantes que podemos usar para realizar nuestras clases si le echamos un poco de imaginación y planificación a las actividades. Por ejemplo, se puede realizar una competición de los alumnos contra la calculadora intentando ganarla haciendo operaciones básicas. El elemento competitivo-colaborativo es importante en el aula por sus carácter motivador. Eso sí, si realizamos competiciones y un alumno se equivoca no hay que recriminarle como ya hemos dicho en otras ocasiones.

A colación de este tema y para que juguéis, si os apetece, un poco con el blog ahí os he puesto (en el menú del blog) un juego competitivo para que demostréis vuestras destrezas. Tenéis varios niveles de dificultad y distintas operaciones para practicar y mejorar. ¿Eres capaz de mejorar tu propio registro haciendo las 100 primeras operaciones sin cometer errores en el menor tiempo posible? ¡Mejora tu promedio! Pero no mucho, que hay muchos deberes que hacer para la Uni.... ;) 

Diario - Semana del 14 al 18 de Marzo de 2011

Se han trabajado en clase sobre todo aspectos relacionados con la metodología de la enseñanza de las matemáticas, de cómo se enseñaba tradicionalmente y de cómo se debería enseñar desde una perspectiva constructivista.

Se elaboró una tabla que contrasta ambos enfoques y que adjuntaré a lo largo de esta semana, por cierto gracias a Natalia Salsón por dejarme sus apuntes del día que falté por el dichoso accidente de tráfico. La tabla será extraída de sus apuntes, gracias por adelantado.

Cosas que he aprendido esta semana:

Cuando nos planteamos que nuestro alumnos realicen una actividad, no se puede llegar y darles una actividad sin más, la actividad X de la página Y, habrá que tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Fijar nuestros objetivos
• Qué es lo que queremos que aprendan
• Actividades que les vamos a proponer para que aprendan

Proceso inductivo: (en la resolución de una actividad / problema) implica una serie de pasos:

• Hayamos un patrón claro que se pueda dibujar
• Hayamos otro patrón claro
• Hayamos el siguiente patrón claro
• Entonces, hacemos uno que no se pueda dibujar y aplicamos esa pauta que pensamos que se cumplía en los anteriores, aquéllo que pensamos. Si se cumple, hacemos una fórmula general.

¿Qué es un error, qué implica que nuestros alumnos cometan un error?

• En la perspectiva tradicional en la enseñanza de las matemáticas (y otras disciplinas) un error era algo punible y cometerlo implicaba recibir una amonestación de diversos tipos.
• Sin embargo, desde el enfoque constructivista, un error no es más, ni menos, que una oportunidad de aprendizaje y así se lo tenemos que hacer entender a nuestro alumnos en el futuro.

Cuando enseñamos y proponemos tanto actividades como teoría tenemos que ser capaces de responder al por qué, no actuar de una forma mecánica que no aporte sentido a lo que explicamos. Si somos capaces de explicar la relación entre la causa y el efecto seremos capaces, realmente, de demostrar algo.

Problema VS Ejercicio:

Desde la perspectiva constructivista debemos diferenciar ambos conceptos y tenerlos claros. En común ambos términos tienen el principio y el final. En cuanto a sus diferencias:

• En el ejercicio: sé de antemano qué hacer para llegar a la solución del problema.
• En el problema no sabes, a priori, lo que hay que hacer, cómo llegar a la solución.
• No existen los problemas de dividir, sumar, restar, multiplicar, etc. Son ejercicios erróneamente llamados problemas.

Como ya hemos dicho en diversas ocasiones hay distintos caminos válidos para llegar a la misma solución, pero además, dentro de nuestra clase-grupo de alumnos encontraremos que hay gente que posee distintos tipos de herramientas que emplean en la resolución de ejercicios y problemas. Pues bien, dichas herramientas propias de cada alumno, aunque sean diferentes, son igual de válidas.

Las fórmulas no son herramientas que aprendemos de memoria y sin sentido. Las fórmulas han de ser el resultado de un proceso de pensamiento que va en contra de esa memorización sin sentido.

Cuando nos encontramos frente a un problema matemático hay que saber estimar el resultado. Si en primaria nuestros alumnos son capaces de estimar un resultado en un problema de una forma eficaz y con sentido es más que suficiente en cuanto a que cumplen con el grado de resolución que deberíamos esperar de ellos.

Deberes - días sueltos

 Hay un desfase de días entre los que no ha habido clase y uno que falté yo gracias a los "simpáticos" atascos que se forman en la M-40 y A2. En fin, allá vamos.

Resolución de la suma de los números que tiene que dar como resultado 6 (no se pueden añadir números para ello). En clase vimos que había varias posibilidades para resolver este ejercicio, con lo que queda reforzada la idea de que hay más de una camino para llegar al mismo resultado, idea que como futuros maestros debemos tener siempre en mente.

Aquí os dejo mi propuesta de resolución:

Polígonos:

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 100 lados?

Para resolver este problema es bueno proceder como lo haría un alumno de primaria; dibujando los polígonos y pintando cada una de las diagonales posibles dentro de dichos polígonos. Una vez hemos pintado varios ya podemos empezar a observar patrones:

Luego, podemos afirmar que de cada vértice saldrá una diagonal que vaya hasta cada uno de los vértices del polígono menos a sí mismo y a sus dos vértices contiguos. Lo vemos con un ejemplo, el pentágono:

Tiene 5 vértices y de cada uno de ellos saldrá una diagonal a todos los vértices menos a él mismo y a los dos contiguos por lo que tendremos (5 - 1 - 2 = 2). Además, lo anterior ocurre por cada vértice, al tener 5 vértices esto sucederá 5 veces, por lo tanto, tendremos que multiplicar los resultados del primer vértice por 5. Tenemos  (2 x 5 = 10). 

Por último sabemos que la diagonal que va desde el vértice A al vértice B es la misma que va del B al A, por lo tanto, habrá que dividir el número total de diagonales posibles entre dos para hallar la mitad. Con lo que tenemos 10 diagonales posibles pero repetidas A y B  es lo mismo que B y A con lo que al dividir entre 2, para hallar la mitad, obtendremos las diagonales reales posibles de este polígono.

Ahora vamos con el polígono de 100 lados, aunque podríamos coger cualquiera.

La fórmula general sería:

Luego tenemos (100-3) x 100 = 9700
9700 / 2 = 4850 diagonales

Diario - Lunes 7 de Marzo de 2011

Cosas que he aprendido hoy en clase:

• La intuición previa es importante en la resolución de problemas.
• No hay que dar respuestas a nuestros alumnos sino plantear preguntas que les guíen hacia las respuestas correctas.
• Posible no es lo mismo que probable. Para asegurar algo hay que probar todos los casos posibles.
• Lo contrario de Todo en un problema no es la Nada; por ejemplo todos los elementos que cumplen con  una serie de requisitos no les falta Nada, son aquéllos que tienen Todo. El contrario de Todo será aquellos elementos a los que les falta algo o que no cumplen con un requisito.
• Si son los propios niños los que realizan una autoevaluación se vuelven más autónomos y ayudan a la profesora a ver en qué aspectos necesitan refuerzo de una manera más rápida y significativa.
• Hay tres pasos fundamentales en la resolución de problemas y su interiorización:

1. Comprender
2. Asimilar
3. Verbalizar (ser capaces de explicarlos más tarde)

¿Cómo tratar la discalculia?

Ya hace unos días añadí una entrada en mi diario sobre como tratar la discalculia, recupero la información:

• Darle tiempo suficiente al alumno para visualizar los problemas.
• Dotar al alumno de estrategias cognitivas que le ayuden con el razonamiento visual y faciliten el cálculo mental.
• Adaptar el aprendizaje al alumno usando los canales de información más adecuados a sus necesidades.
• El alumno debe leer en voz alta y de forma comprensiva los problemas. Asegurarse de esto.
• Relacionar los problemas con situaciones de la vida real (esto es aplicable para todos los alumnos).
• Evitar aglomeraciones visuales en las fichas/hojas de trabajo.
• La repetición en la memorización es muy importante para estos alumnos, usar música o ritmo como ayuda.
• Exámenes personalizados adaptados a sus necesidades en presencia del docente.
• Tratar al alumno como a uno más. Nada de regañar o expresar lástima.

      Además en clase hoy hemos estado revisando otros métodos que nos pueden ayudar a paliar sus efectos en clase:

• Puede ayudar el hecho de trabajar con "materiales manipulativos" (por ejemplo placas multibase) en las mesas para que sean capaces de concebir físicamente y de un modo tangible las cifras que manejan antes de escribirlo con números.
• Ayuda que los alumnos con discalculia expliquen al profesor cómo han entendido el problema planteado en un examen, para que así el profesor le pueda orientar en caso de que no lo haya entendido correctamente.
• Son alumnos que necesitan de un tiempo determinado y distinto al que el resto necesita para realizar los problemas. Realizar un examen sin tiempo, encontrar un momento en el que el tiempo no sea un factor condicionante.
• El hecho de llevar acabo las dos últimas cuestiones implicaría que estos alumnos necesitaran de la figura de un profesor continuamente detrás de ellos. 

Diario - Viernes 4 de Marzo de 2011

Cosas que aprendí en clase:

• Para asegurar algo hay que comprobar que se cumple el peor caso posible.
• Cómo identificar la discalculia en clase: los alumnos con este problema tienen problemas para contar hacia atrás, al escribir los números lo invierten, confunden números simétricos como el 6 y el 9.
• El reconocimiento social que reciben las matemáticas puede estar relacionado con el nivel socio-económico y de formación en las dos variantes: que personas con más formación educativa le den más importancia a su uso, o, que personas que pertenecen a grados más elementales de educación se la den por el uso que hacen de ellas en su vida diaria. Normalmente entre los individuos pertenecientes a estratos socio-económicos más favorecidos las matemáticas gozan de un mayor prestigio y sucede lo contrario en sectores más deprimidos.
• Matemáticas escolares: cercanas al alumno, pero desconectadas de su realidad. Que el aprendizaje  esté contextualizado no tiene por qué significar que éste sea significativo. No se trata de buscar en nuestras clases algo que sea atractivo para ellos, sino algo que les implique realmente en los procesos de enseñanza-aprendizaje.
• El profe no posee la verdad absoluta. Un alumno puede encontrar un método distinto al nuestro para resolver el problema y es tan aceptable como nuestro método.

El problema del Caracol:

      Tenemos a un caracol que quiere subir a lo alto de una planta que mide 7 metros. El caracol recorre cada día 4 metros y cuando duerme desciende 1. ¿Cuántos días tarda en llegar a lo alto de la planta?

      Sin dormir el primer día subirá 4 metros, pero al dormirse desciende 1 metro con lo que habrá recorrido 3. El caracol en el segundo día, sin dormirse, llegará a la parte más alta de la planta (3+4 = 7 metros) la planta mide 7 metros con lo cual llega a la cima. Si el caracol en el segundo día se duerme en la cima (7 metros) descenderá un metro (7-1= 6 metros), con lo que necesitará un día más, 3 en total, para llegar a la cima de la planta.

El problema de Gauss:

Un maestro de colegio en Alemania castigó a todos sus alumnos a sumar los 100 primero números naturales para tenerlos entretenidos y callados durante un rato. Sin embargo, en esa clase estaba Gauss que obtuvo la respuesta en unos minutos. El profesor, al comprobar que Gauss había hecho la suma correctamente, palideció atónito ante el resultado. ¿Qué hizo Gauss?

En clase vimos dos métodos para resolver este problema:

• El primero consiste en sumar las parejas de números que hay desde el 1 hasta el 100 sin que los números se repitan y que ambos den como resultado 100. En este caso empezamos con la siguiente serie (99+1, 98+2, 97+3,...., 51+49) en total 49 operaciones donde cada una suma 100 sin que se repitan los números y el 50 se queda aparte porque no puede repetirse dicho número. El resultado de lo anterior es (100x49 = 4900). El 100 lo sumamos a 0 y el 50, que lo teníamos aparte habrá que sumarlo también. Luego (4900+100+50=5050).

• El segundo método que lo aportó una compañera, María Sabina, era planteado de otro modo. Primero sumaba las unidades: el número 9 aparecerá 10 veces al sumar los números del 1 al 100 - 9, 19, 29, etc, y con el resto de unidad sucederá lo mismo. 

         Luego tendremos (10+20+30+40+50+60+70+80+90 =450)
        Después habrá que hacer lo mismo con las decenas (20 aparecerá 10 veces de 20 a 29.
         Luego, (20x10=200) y así sucesivamente.
         (100+200+300+400+500+600+700+800+900= 4500)
         Por último las centenas que sumaremos tal cual (100 sólo sale 1 vez entre 1 y 100).
         Con lo cual tenemos: (450+4500+100 = 5050)